Die Stromstärke wird dadurch definiert, wie groß der Betrag der elektrischen Ladungsverschiebung pro Zeiteinheit durch den Leiter ist. (I=Q/T)
Nur eine Kleinigkeit, aber "T" (und "ϑ") ist die Temperatur, "t" die Zeit.
Ich nehme als Vergleich zum Potentialunterschied gern den Höhenunterschied. Der Strom ist die Masse (Gewicht). Das ist dann analog zur kinetischen Energie. Bewegst du einen Gegenstand nach unten, dann wird dabei Energie frei. Klassisches Beispiel ist das Wasserrad, auf das das Wasser fällt und das Rad antreibt. Je größer der Höhenunterschied zwischen dem Wasserrad und der Stelle ist, an dem das Wasser "herunterfällt" (Spannung), desto mehr Energie kannst du gewinnen. Je mehr Wasser pro Zeit fließt, desto mehr Energie kannst du gewinnen. Beide Faktoren spielen eine Rollen.
Spannung kannst du ein bisschen wie "Druck" sehen, mit dem Elektronen durch den Leiter gedrängt werden. Je höher der Druck, desto mehr Elektronen fließen. Der Widerstand spielt dabei natürlich auch eine Rolle. Hast du ein Hindernis (Widerstand) im Wasserweg, fließt bei gleichem Druck weniger Wasser (Strom).
Du hast bei deiner phsyikalischen Betrachtung zwar bedacht, dass einmal viele und einmal weniger Ladungströger (elektronen) durch den Widerstand wandern und dort Teilchen in Bewegung setzen. Klar, um so mehr Ladungsträger, desto mehr Kollisionen und damit Bewegung, sprich Wärme. Du darfst aber auch nicht den "Wumms" vergessen, mit dem die Elektronen gegen die Atome krachen. Wenn da mehr hintersteckt, scheppert es auch stärker (wärmer).
Der Vergleich von RalleBert ist aber auch ganz gut. Um eine Aufgabe (Leistung) zu erledigen, wird eine bestimmte Zahl an Arbeitsstunden gebraucht. Je länger (Spannung) eine Person arbeitet, desto mehr von der Aufgabe wird erledigt. Je mehr gleichzeitig arbeiten (Strom), desto mehr wird erledigt.
Ich hoffe, das waren genug (Scheinleistung) und auch brauchbare (Wirkleistung) Vergleiche, und nicht nur heiße Luft (Blindleistung)

Korrigiert mich (sehr gerne! ;o) wenn ich falsch liege, aber so wie ich das sehe liegt genau hier der Fehler im Denkansatz.
Mache ich doch gern

An sich ist dein Ansatz sehr gut, in der Praxis aber leider meistens falsch, weil es da komplizierter ist. Ist die Heizung ein simpler ohm'scher Verbraucher, dann stimmt das. Das ist zum Beispiel bei Herdplatten gern der Fall. Bei den meisten Geräten werden aber Schaltnetzteile verwendet, die (mal etwas einfach formuliert) ihren Eingangswiderstand abhängig von der Eingangsspannung verändern, um immer die gleiche Leistung aus dem Netz zu entnehmen und mit fester Spannung an den Verbraucher abzugeben. Denn am Ende muss das, was du da betreiben willst, so funktionieren wie erwartet. Wenn du etwas anspruchsvollere Verbraucher als einen Widerstand hast (zum Beispiel einen PC), dann läuft der nicht mit weniger Leistung. Deshalb steigt bei sinkender Spannung da der Strom. Oft ist es auch so, dass die maximale Leistung bei 110V höher ist als bei 230 V, weil bei kleinerer Spannung die Verluste größer sind.